INSTITUTO SAN MARTIN: MATEMÁTICA

OPERACIONES CON RACIONALES

Igual Denominador – Sumas y Restas de Fracciones

Ej. 1 + 5 = 1 + 5 Se Suman los numeradores directamente

3 3 3

Distinto Denominador

Ej. 1 + 2 + 4 = 15 + 20 + 24 = 59

2 3 5 2 * 3 * 5 30

Lo más simple es multiplicar los denominadores y Simplificar , si es posible, la fracción resultado.

Sumar o Restar un entero a una fracción

Ej. 5 + 3 = 5 + 3 = 10 + 3 = 13 En este caso el entero se considera como una fracción

2 1 2 2 2 y luego se opera como en el caso anterior buscando el

común denominador.

Multiplicación de Fracciones

3 * 2 = 1 En este caso Multiplicamos Derecho y Simplificamos Cruzado. Podemos

4 3 2 simplificar el 3 con el 3, y también el 2 con el 4.

División de Fracciones

3 : 8 = 9 Se resuelve al revés que la Multiplicación: S e simplifica derecho y se multiplica

2 3 16 cruzado.

Otro Ej.

4 : 2 = 6 En este ejemplo se puede simplificar el 4 con el 2.

5 3 5

Otros casos de Multiplicación y División

3 : 4 = 3 : 4 = 15

5 1 5 4

Potencias

Raíces:

ECUACIONES

Resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de las incógnitas que hacen que se verifique una igualdad

Recordemos algunas de las Reglas de pasaje de términos:

Un término que esta sumando, pasa restando , y viceversa

Un término que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa.(conserva su signo)

Una potencia pasa como raíz, y viceversa

Para mayor seguridad, una vez resuelta una Ecuación se debe verificar reemplazando el valor de la incógnita hallado

Ej. – 3x + 5 = 2 + 4x

-3x - 4x = 2 – 5 Se agrupan los términos en x, y los números

-7x = - 3

x = -3 : ( -7 )

x = 3

NOTA: Hacer siempre la verificación, nos asegura que el valor obtenido es el correcto. En este caso reemplazar el valor x= 3/7 en la igualdad - 3x+5 = 2+4x ; si es posible hacerlo a “mano”, sino aprender a hacerlo con la calculadora ,el valor de la izquierda debe dar igual al valor a la derecha del signo igual.

RELACIONES y FUNCIONES

En la vida cotidiana se establecen relaciones entre diversos conjuntos de elementos o cosas; por ejemplo :

I) Si tenemos el conjunto de Madres y el conjunto de Hijos, se puede establecer la Relación: Hijo de; donde cada madre estará relacionada con un hijo o en general con varios hijos. Se dice en este caso que: a cada x del primer conjunto le corresponde uno o varios y del segundo conjunto.

II) Otra relación se puede establecer entre el conjunto de Provincias y el conjunto de Capitales; en este caso la relación: Capital de ,asigna a cada provincia, su capital. Se dice en este caso que a cada x le corresponde un único y solo y

Cuando esto sucede como en el 2° ejemplo ,se dice que la relación es una FUNCIÓN.

Funciones Reales: Cuando estas funciones , están definidas en el Conjunto de los números Reales se llaman Funciones Reales, y algunas de las más conocidas son :Las Funciones Lineales y las Cuadráticas, veamos algunos Ejemplos.

GEOMETRÍA

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

El sistema de medición de ángulos más usado es el sistema sexagesimal.

Sistema sexagesimal:

Como ya se sabe, la unidad de medida angular en este sistema es el ángulo igual a la noventa ava parte del ángulo recto; se lo llama grado sexagesimal y se lo abrevia 1°. Es decir:

1 ángulo recto = 1º

y como consecuencia:

1 ángulo recto = 90º

El grado sexagesimal admite como submúltiplos el minuto y el segundo sexagesimales. El minuto es la sesenta ava parte del grado y se abrevia: 1’, y el segundo es la sesenta ava parte del minuto sexagesimal y se abrevia: 1”. Es decir:

1º/60 = 1’ 1° = 60’

1’/60 =1” 1’ = 60”

Para medidas muy precisas o ángulos muy pequeños se utilizan los

décimos y centésimos de segundo.

Sistema centesimal:

En este sistema la unidad de medida es el ángulo igual a la centésima parte del ángulo recto: se lo llama grado centesimal y se lo abrevia 1G. Es decir:

1 ángulo recto = 1G

100

El grado centesimal admite como submúltiplos el minuto y el segundo centesimales. El minuto centesimal es la centésima parte del grado centesimal y el segundo centesimal es la centésima parte del minuto centesimal.

Este sistema, que tiene la ventaja de que los múltiplos y submúltiplos están vinculados por potencias de 10, pretendió reemplazar al sexagesimal, pero no consiguió imponerse dado que la casi totalidad de los aparatos para medición de ángulos: sextantes, teodolitos, brújulas, etc., están graduados según el sistema sexagesimal.

Sistema circular o radial:

En este sistema de medición de arcos se adopta como unidad el radián que es el arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia a que pertenece.

El ángulo central que abarca el arco de 1 radián se llama ángulo correspondiente a un radián, o abreviadamente, ángulo de 1 radián.

En general, cuando se dice que un ángulo es igual a n radianes, se quiere expresar con ello que es el ángulo central que corresponde a un arco de n radianes.

Como la circunferencia tiene una longitud 2 π r, resulta que la longitud de la circunferencia expresada, en radianes es igual a 2 π, o sea:

longitud circunferencia = 2 π radianes

y el ángulo central total, o sea el ángulo de 360º es igual a 2 π ángulos de 1 radián.

Adoptando como unidad el radián, resultan las siguientes medidas para los arcos que se detallan a continuación:

circunferencia = 2 π

semicircunferencia = π

cuadrante = π/2

Correspondencia entre los sistemas sexagesimal y circular.

Como:

1 ángulo recto = 90º

1 ángulo recto = π ángulos de un radián, resulta:

90° = π ángulos de un radián

1° = π ángulos de un radián

180

1 ángulo de un radián = 180º

Por lo tanto: Dado un ángulo en grados sexagesimales basta multiplicar su medida por π

180

para obtenerlo expresado en el sistema circular.

Recíprocamente: Dado un ángulo en el sistema circular, basta multiplicar su medida por 180/ π para obtenerlo expresado en grados sexagesimales.

Ejemplos:

1º) Expresar en el sistema circular un ángulo de 36°.

36º = (= π * 36) ángulos de un radián o sea:

180

36º = 0,62832 ángulos de 1 radián.

2º). Expresar en grados sexagesimales un ángulo de 2,5 radianes.

2,5 áng. de 1 radián = 180º * 2,5

2,5 ang. de 1 radián = 180º * 2,5

3,1416

2,5 áng. de 1 radián = 143° 14’ 20”

TEOREMA DE PITÁGORAS:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a² =b² + c²

COROLARIO 1º: En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos.

En efecto: por el teorema de Pitágoras es: a² = b² + c²

COROLARIO 2º: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.

En efecto, por el teorema de Pitágoras se sabe que:

a² = b² + c² pasando uno de los catetos al primer miembro queda:

a²- c² = b² y si pasamos b nos queda: a² – b² = c²

COROLARIO 2º : Un cateto es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto.

Teorema del coseno:

En todo triángulo el cuadrado de uno cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los mismos por coseno del ángulo comprendido entre ellos.

Teorema del Seno:

Recordar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo nos da 180º

El valor del seno de un ángulo no puede ser mayor que1.

SISTEMAS NUMÉRICOS

Operaciones con números enteros y con números racionales

Este capítulo tiene como única finalidad recordar las reglas y propiedades para operar con números enteros y fraccionarios

Por lo tanto, a continuación se proponen algunos ejercicios-tipo donde

para su resolución se aplican las reglas y propiedades estudiadas.

Una raíz puede ser expresada a través de un exponente fraccionario, donde el numerador es el exponente del radicando y el denominador es el índice de la raíz.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que en la Aritmética las cantidades conocidas y perfectamente determinadas se representan mediante números , en Álgebra las cantidades se representan mediante letras que representan cantidades tanto conocidas como desconocidas.

En cada término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente (número), la parte literal (letra), y el grado que es indicado por la potencia que afecta a la parte literal.

Nota: Recuerde que para dividir polinomios, en primer lugar deberán ordenarlos en forma descendente con respecto al exponente que afecta a la parte literal.

Un proceso muy utilizado en el álgebra es la descomposición factorial de polinomios. Por lo que:

“Descomponer en factores una expresión algebraica, consiste en convertirla en el producto de sus factores.”

Se conocen varios casos de factoreo, nosotros le proponemos recordar alguno de ellos:

Factor Común: los términos de un polinomio pueden tener como factor común el divisor común de los números y la letra de menor exponente. Por ejemplo:

10x² + 5x= 5x.(2x +1)

Trinomio cuadrado perfecto: es cuando dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de sus raíces cuadradas, y al factorearlo nos dará como resultado el cuadrado de un binomio cuyos términos son las raíces de los cuadrados perfectos. Por ejemplo:

x² + 4x + 4 = (x+2)²

4.x² - 8x + 4 = (2x-2)²

Diferencia de cuadrados: se extraen las raíces cuadradas del minuendo y el sustraendo, y se multiplica la suma por la diferencia de dichas raíces. Por ejemplo:

x² - 4 = x²– 2²= (x+2).(x-2)

SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones no es otra cosa que la traducción a un lenguaje simbólico de una situación real, y esto les confiere una importancia muy singular.

FUNCIONES

En la vida diaria estamos acostumbrados a relacionar cosas. Así por ejemplo, podemos considerar un conjunto A de Provincias de la República Argentina y otro conjunto B formado por Capitales de provincia, la relación puede estar dada como: “Capitales de provincias de la República Argentina”.

A = {Catamarca, Misiones, Chaco, Buenos Aires}

B = {Posadas, Catamarca, La Plata, Resistencia}

La relación nos definirá una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B.

Cada función relaciona punto a punto, valor a valor, dos variables. Ésta asociación que permite conocer comportamientos puntuales de otra, es lo obvio, lo inmediato en el estudio de funciones. Pero un estudio propiciará obtener consecuencias más globales a partir de las cuales se podrán hacer previsiones, obtener leyes, tomar decisiones, etc.

Una función puede estar dada de muchas formas: mediante su gráfica, mediante su fórmula, mediante una serie de puntos, o simplemente con una descripción minuciosa del fenómeno al cual responde.

Una función puede ser representada gráficamente, en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, en el cual sobre el eje horizontal o abcisas se representa la variable independiente (x) , y sobre el eje vertical u ordenadas se representa la variable dependiente (y).

Función Polinómica:

Entre las funciones reales que estudiaremos en éste curso están las funciones polinómicas, la cual tiene la siguiente forma general:

f (x) = a₀+ a₁ x + a₂ x² + ........+ a_n xⁿ

Algunos casos particulares de funciones polinómicas:

Función constante: Es de grado 0 y su forma general es:

f (x) = constante = k o bien y = k

Su gráfica es una recta paralela al eje x, que corta al eje y, en el punto k.

Ceros o raíces de una función polinómica:

Se dice que “a es un cero o raíz” de una función polinómica f (x), si f (a) = 0.

Geométricamente, los ceros de una función son las intersecciones de su gráfica con el eje de las abcisas. Encontrar los ceros de una función es de gran ayuda para representarla gráficamente.
Los ceros de una función lineal es cuando hacemos x = 0, o y = 0 , obteniéndose 2 puntos sobre cada una de los ejes del sistema de coordenadas, cuya unión con una línea continua nos determinará una recta.
Los ceros de una función cuadrática, es decir los puntos por donde la curva corta al eje de coordenadas x, estarán determinados por las raíces de la fórmula de cálculo aplicada a expresiones cuadráticas o de segundo grado.

VECTORES

Existen dos tipos de magnitudes: las escalares y las vectoriales. Las escalares solo hace falta para su determinación de la cantidad el número y la magnitud en que se está midiendo, por Ej. decimos un determinado cuerpo pesa 5kg. tenemos una idea clara y precisa de su peso. Pero en las magnitudes vectoriales, por ej. en el caso de fuerzas , velocidades, aceleraciones, hace falta también , aparte de su magnitud decir en que dirección actúan, como también el sentido, por que no es lo mismo una fuerza que empuja un móvil, en forma horizontal a otra que lo empuja hacia abajo.

Partes componentes de un vector

Módulo: se llama también intensidad está determinado por el valor del vector, se representa gráficamente por el tamaño del vector, por Ej. 80km/h

Dirección: esta dado por la dirección de la recta que contiene el vector.

Sentido: esta dado por el sentido de la flecha.

Representación de vectores: Los vectores se pueden representar como vectores libres (sin un sistema de referencia) o referidos a un sistema ortogonal de ejes, donde cada vector está determinado por coordenadas, de los puntos de inicio y de final del vector.

Algunos Vectores característicos:

VECTOR NULO. Es aquel cuyo módulo es igual a 0, su origen coincide con su final.

VECTOR UNITARIO: Es aquel cuyo módulo es igual a 1, son llamados también versores.

VECTORES LIBRES

Los vectores como los números son elementos matemáticos con los que se pueden realizar operaciones, ahora veremos algunas de ellas:

Suma de Vectores:

Método de la Poligonal

El método consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro y la Resultante tiene como origen el origen del primer vector y como final el final del último vector, de ésta manera se pueden sumar varios vectores.

Método del Paralelogramo

Consiste en colocar origen con origen de los vectores, por el extremo de cada uno se traza una paralela al otro y la Resultante es la diagonal del Paralelogramo.

Producto de un vector por un escalar: El escalar es un nº, y multiplicar un escalar por un vector es obtener un vector cuyo módulo es tantas veces como lo indica el escalar, si este nº es negativo, el vector resultante cambia de sentido.

Diferencia de Vectores

Observación: La diferencia de nº puede ser interpretada como una suma, donde al 1º número le sumamos el opuesto del 2º; o sea que si decimos:

8 – 3 = 5, esto puede ser escrito: 8+( - 3 ) = 5

Esto es lo que haremos con la diferencia de vectores representaremos el opuesto del vector y resolveremos como una suma usando alguno de los métodos conocidos.

Vectores referidos a un Sistema de Ejes Coordenados

Los vectores referidos a un Sistema de Ejes Coordenados, están definidos por un punto P con dos coordenadas x e y, P(x,y) y un punto extremo Q con coordenadas x e y, Q(x,y).

Todas las operaciones vistas hasta ahora se pueden realizar en este tipo de vectores, ya que se pueden considerar como vectores libres, trasladando el punto P al origen de coordenadas, punto (0,0).

Módulo de un vector:

Ahora con las componentes podemos determinar el módulo o intensidad del vector v, si observamos la figura veremos que entre Vx , Vy y el vector v queda determinado un triángulo rectángulo, entonces por el teorema de Pitágoras, v que es la hipotenusa queda:

v² = Vx²+ Vy²

entonces v = √Vx² + Vy²= √ 5² +6²= √ 61 = 7,81

módulo de v = v = 7,81 si se tratara de vectores que son desplazamientos ,significaría 7,81 cm. o m.,depende de las unidades en que se midan los vectores.

Recta Dirección del vector:

Comprende dos pasos 1º- Determinación de la pendiente del vector y

el ángulo de pendiente

La pendiente del Vector está dada por la tg del ángulo que forma con la horizontal.

Rectas Paralelas al vector:

Todas las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto son paralelas:

y = 6 x + 3 ( corta al eje y en y = 3)

y = 6 .x – 1 ( corta al eje y en y = -1)

Sistema Métrico Decimal-Nociones de Geometría

VOLUMENES

Los volúmenes surgen de la multiplicación de tres distancias, y obtendremos cm³ o m³. También se puede interpretar como el cálculo del Área de la base por la altura,

Área base (m²) x altura (m) =m³; y esto es válido para cualquier figura.

Si fuera una cañería esto se podría interpretar también como área de la sección o

corte por la longitud.

Algunas Equivalencias importantes:: 1000 cm ³≡ 1 litro o también